Rappelez-vous de la page ordres partiels et ordres partiels stricts sur ensembles que la relation $R $ sur un ensemble $X $ est dit être un ordre partiel sur $X $ si $R $ est réflexive, antisymétrique et transitive. Par conséquent, il est fréquent d`indexer les commandes totales finies ou les ordres de puits avec le type de commande ω par des nombres naturels d`une manière qui respecte l`ordre (soit commençant par zéro ou avec un). Par exemple, si N est le nombre naturel, plus grand que nous pourrions faire référence à la topologie de l`ordre sur N induite par (dans ce cas, ils se trouvent être identiques, mais ne sera pas en général). Maintenant, considérez les éléments $2, 4 in X $. La propriété ci-dessus est souvent appelée la propriété Trichotomy et montre que l`ensemble des nombres réels $ mathbb{R} $ est un ensemble totalement ordonné avec l`ordre total $ leq $. La topologie d`ordre induite par un ordre total peut être montrée comme normale. Tout d`abord si $x < y $ puis $x leqslant y $ si $x $ et $y $ sont comparables. Par exemple, considérez l`ensemble $X = {0, 1, 2,. Nous pouvons utiliser ces intervalles ouverts pour définir une topologie sur tout ensemble ordonné, la topologie de l`ordre. Nous avons ce $2 not mid $7 et $7 not mid $2 et donc $2 $ et $7 $ sont inégalable. L`exemple de la relation divise d`en haut n`est pas un ordre total puisque nous avons trouvé des éléments incomparables dans $X $.

L`antisymétrie élimine les cas incertains lorsqu`un {displaystyle a} précède b {displaystyle b} et b {displaystyle b} précède un {displaystyle a}. Pour montrer ceci, nous notons que $q $ est premier et ainsi les seuls diviseurs positifs de $q $ sont $1 $. En d`autres termes, une commande totale sur un ensemble avec des éléments k induit une bijection avec les premiers nombres naturels k. Deuxièmement, si $x = y $ puis $x leqslant y $ si $x $ et $y $ sont comparables. RN définit un ordre faible strict et une précommande totale correspondante sur ce sous-ensemble. Toutefois, $p neq q $ et $p neq $1 donc $p not mid q $. Donc, ce n`est pas une relation de commande totale car n`est pas transitive. En fait, si $q $ est un premier et $1 < p < q $ alors $p $ et $q $ sont inégalable. Nous avons déjà vu que cette relation est réflexive, antisymétrique, et transitive et si $ leq $ est un ordre partiel sur $ mathbb{R} $.

Les exemples sont les intervalles fermés des nombres réels, e. Il y a trois cas à considérer. Alors que la chaîne est parfois simplement synonyme de jeu totalement ordonné, il peut également se référer à un sous-ensemble entièrement commandé de certains ensemble partiellement ordonné. L`oubli de l`emplacement des extrémités aboutit à un ordre cyclique. Nous avons (a, b) et (a, c). La hauteur d`un poset indique la cardinalité de sa plus grande chaîne dans ce sens. Montrons maintenant que $ leq $ est un ordre total de $R $. Intutitivement, cela signifie que les éléments de la deuxième série sont ajoutés au-dessus des éléments de la première série.

Chaque ensemble fini entièrement commandé est bien commandé. Une extension d`une commande partielle donnée à une commande totale est appelée une extension linéaire de cet ordre partiel. Let $x, y Dans mathbb{R} $. Cette dernière définition a un rôle crucial dans le lemme de Zorn. Maintenant la compatibilité signifie que si vous choisissez deux éléments disent a, b alors soit aRb ou bRa mais dans ce cas, si nous prenons par exemple b et c, ni bRc ni cRb si la relation n`est pas compatible et donc n`est pas un ordre total. Nous pouvons définir ou expliquer la façon dont un ensemble est totalement ordonné par l`une de ces quatre relations; la notation implique si nous parlons de l`ordre total non strict ou strict. La propriété Connex implique aussi la réflexivité, i. Pour tout Set X totalement commandé, nous pouvons définir les intervalles ouverts (a, b) = {x: a < x et x < b}, (− ∞, b) = {x: x < b}, (a, ∞) = {x: a < x} et (− ∞, ∞) = X. Ensuite, l`ensemble {in: n est un nombre naturel}, où in est l`ensemble des nombres naturels ci-dessous n, est une chaîne dans cette commande, car il est totalement ordonné sous l`inclusion: si n ≤ k, puis in est un sous-ensemble de ik. En outre, la relation $R $ sur un ensemble $X $ est dit être un ordre partiel strict sur $X $ si $R $ est irréflexive, antisymétrique, et transitive.

Les ensembles totalement commandés forment une sous-catégorie complète de la catégorie des ensembles partiellement commandés, avec les morphismes étant des cartes qui respectent les ordres, i.